COINV模态参数识别新算法——提纯算法
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摘要
本文提出的提纯算法,将传统的密集模态解耦转化到了简单的频响函数提纯,参数识别过程也不需要稳定图,计算速度有极大的提高。提纯算法是目前所有模态识别算法中,唯一对密集模态参数识别能达到实时级的算法。MIMO试验只要参考点数量合适,即使能量占比很小的模态,通过提纯算法也可得到非常协调的模态振型,精确的模态频率和阻尼。提纯算法尤其适用于耦合严重的超大阻尼模态试验,提纯后的FRF已完成了模态解耦,能直观显示模态的频率和阻尼。
一 简介
飞机地面振动试验(GVT)之一为纯模态试验 [1] 。在试验过程中,若干个激振器固定在某阶模态的频率同时激励。 通过调节每个激振器的大小和方向,可激励出纯模态,直接得到模态振型。这套机理可借鉴到试验模态分析(EMA) 和运行状态模态分析(OMA)的参数识别,对具有共同分母的频响函数FRF或半谱HSP进行提纯[2~4],得到参数识别的提纯算法。
对单输入多输出SIMO或多输入单输出MISO模态试验,FRF函数矩阵的一行或一列已知,这些FRF具有相同的分母,决定了模态的频率和阻尼。FRF由多阶模态叠加而成。只要为每个FRF找到合适的权系数,计权相加后可得到只含一阶模态的新FRF,此即所谓的提纯过程。由此再识别得到模态的频率和阻尼。改变权系数,可得到其它阶的模态频率和阻尼。
对于多输入多输出MIMO模态试验,多行或多列FRF已知,把一行或一列FRF看成一组,为每组FRF找到一个合适的权系数,同测点不同组频响函数计权相加后可得到一组只含一阶模态的FRF,此即所谓的MIMO提纯过程。由这组提纯后的FRF,再识别得到模态的频率,阻尼和振型。改变权系数,可得到其它阶的提纯FRF,识别模态频率,阻尼和振型。
对于EMA的MIMO试验,通过多变量指示函数(MvMIF) [5,6],可计算得到权系数,进行提纯。当MvMIF的数值小于0.1,可通过FRF虚部直接得到模态振型。
对于EMA和OMA的MIMO试验,通过复模态指示函数(CMIF) [2,3],可计算得到权系数,进行提纯。
当模态密集时,需要适当增加MIMO试验的参考点数目。
二 理论推导
2.1 SIMO或MISO EMA模态试验
对于SIMO或MISO的EMA试验,FRF的一行或一列已知。
激励点和响应点之间的FRF可写成:
其中,i为激励点,j为响应点,r为模态阶数,n为频率分析区间内总的模态阶数,mr为广义模态质量。
(1)式常写成
此处●*为复共扼, Ar为复留数,且
当Ar为纯虚数,Ar的实部为0,Ar*= -Ar 。由式(1)
ΨirΨjr为实数。此处开始,本小节模态振型假定为实数。
假定采用质量归一提取振型,式(1)可重写为:
所有FRF有共同的分母。在对某阶模态进行参数识别时,需要考虑其它阶模态的影响。
假定选中m个FRF通过权系数进行叠加,满足m≥n,合成得到新的FRF:
即:
假定采用质量归一提取振型,式(1)可重写为:
此处r是模态阶数,r ≠ k。只在一阶模态r=k,
为非零。归一化处理,令
。
这样,由式 (7),可得到只含一阶模态的频响函数。不用考虑其它阶模态的影响,通过新的FRF可识别得到精确的模态频率和阻尼。
当所有模态的频率和阻尼已知后,由原始的FRF可逐点提取模态振型。
为了得到只含单阶模态的FRF,需要先计算得到实系数αj(j=1,2,…m)。
单阶模态加速度或位移的频响函数如图1所示:
本小节此后的频响函数类型都看作加速度或位移。对于速度类型的频响函数,实部和虚部需要交换。对于OMA的半谱,可看成速度类型。
在图1中,以模态频率为中心,选择一个频率区间。在此频率区间外,虚部和实部之比的绝对值为:
确保μ<0.01,频率范围是
当ξr<0.005,外部频率区间为ω<0.62ωr,ω>1.62ωr
当ξr<0.001,外部频率区间为ω<0.90ωr,ω>1.11ωr
在所有FRF中,选m个虚部绝对值较大的FRF或全体FRF。
假设在频率区间为FRF谱线条数为N,因此求实系数αk的方程为
图1 单自由度FRF实部和虚部
简写为
在式 (13)中,●T表示转置矩阵。HI为FRF虚部。元素HIij,当i不为0,为频率区间外的谱线序号;i=0表示为频率区间内谱峰的位置,允许有小的误差,不会对识别参数的精度造成影响。j为FRF的点号。式(12)中,右边矩阵的第一个元素为1,也可假设成其它的常数。
从式 (13),得到最小二乘解为
即
对于SIMO或MISO试验,以上算法的明显缺点是不适合密集模态或大阻尼模态。
如两个靠近的模态频率位置大于2条谱线,即频率差大于2Δf,此处 Δf=SF/N,SF为采样频率,N为进行FRF分析的FFT点数。这两阶的模态参数可识别出来。
注意到图1,模态频率位置处频响函数的实部为0,因此在式(12)中增加一行,新的方程为
两阶位置靠近的模态可以分开。新增的一行是HR,FRF实部,位于FRF主峰值的位置,和第一行元素所在位置相同。
对于包含只含一阶模态的FRF,在由式(10)和(11)决定的频率区间内,需要识别三个参数ωr,ξr,Φr。方程为
此处HRk为H的实部,HIk为H的虚部,k为谱线序号,ωk为第k条谱线的ω,N为频率区间内谱线总数。
简化成
方程的最小二程解为
此处X=[X1 X2 X3]T,因此
得到了模态频率,阻尼和参考点的振型。根据这些识别出的参数,可得到合成的理论FRF。合成的理论FRF和合成的纯FRF的吻合程度,反映了识别出的模态参数的精度。当吻合程度不好时,其可能的原因有:在选定的频带区间,模态不够纯,即相邻模态的影响没有完全消除;或模态阻尼很大而选定的频率区间宽度不够。
2.2 SIMO或 MISO OMA模态试验
在式 (16)中, 矢量αm×l为复数,式(16) 改写为
2.3 MIMO试验通过MvMIF计算
对MIMO试验,多变量指示函数MvMIF可直接用来计算系数,从而构造出一组纯FRF。
已知的FRF矩阵为Hq×p,q为总的响应点,p为激励点个数。
实系数可看成激励力矢量Hq×p,‖F‖=1,一组新的FRF为(HF)q×l。因此,问题和飞机GVT纯模态试验相同,可定义为寻找激励力矢量,使得
在每条谱线上,定义矩阵
从式(22), 得到
因此
在每条谱线,对下面的实对称矩阵进行奇异值分解
此处S为从大到小排列的实对角阵,U为归一化的实矩阵,有UUT=I。I为单位阵。
多变量指示函数MvMIF曲线可以画出,如图2所示。
有p个激励点,就有p条MvMIF曲线,每条曲线由对角阵S相同序号的元素构成。
由MvMIF曲线的最小值点,可找到模态的位置。实系数为对应此最小奇异值的矩阵U的相应的一列。
当系数知道后,可得到一组提纯后的新频响函数FRF (HF)q×l 。当MvMIF的值小于0.1,模态振型可通过相应谱线位置FRF的虚部直接得到。
图2 MvMIF曲线
MvMIF最小值依赖于激励的位置和数量,当有4阶模态密集相邻时,至少需要3个激励点。只要激励点数量足够,而且位置分布适当,即使重根也能轻易解耦。
当一组提纯后的FRF得到后,式(17) 扩展为
此处在元素iHR和iHI中, i表示一组FRF中的第i个FRF,一组共有q个。
直接求解方程(28)很费时,从等式 (28),可得到等式 (29)
可先求出模态频率和阻尼。
然后,再由式 (27),求出模态振型
对于质量归一,存在等式
此处Ψv可看成单输入多输出SIMO系统的虚拟激励点,满足
Ψ1,Ψ2,…,Ψp 为激励点对应的振型。
由式(31),推导出
由式(33),可计算得到Ψv。第r阶模态的实际振型为
2.4 MIMO试验通过CMIF计算
对于OMA试验以及FRF相干较差的EMA试验,MvMIF曲线无法清楚指定模态所在的位置,而复模态指示函数CMIF却可以。对某一频率处的FRF矩阵进行Hq×p进行复奇异值分解
此处Σ 为正的实对角阵,元素按从大到小的顺序排列。U为复矩阵, UUH=Iq×q,I为单位阵。V为复矩阵,VVH=Ip×p, I为单位阵。
各组的加权系数由下面复数方程得到
写成实数的方式为
将不同频率处Σ相同秩的元素连成曲线,得到了复模态指示函数,如图3所示。在曲线的最大值点,对应一阶模态。绝大部分模态在第一条曲线上,U矩阵和V矩阵的第一列和第一条曲线对应。U矩阵的一列和模态振型成比例,V矩阵的一列和模态参与因子成比例。当模态比较密集或有重根时,模态也有可能在CMIF的第二条或第三条曲线上。
图3 CMIF曲线
首先从CMIF曲线确定模态频率所在的位置和在第几条CMIF曲线上,并得到U矩阵中和谱线的秩相应的一列矢量uq×l 。
β为待定的复系数。此处,振型Ψq×l为复数
假定从式(35) CMIF算法得到的模态振型是可靠的。一组复系数νi(i=1,2,…p)为矩阵V的一列νp×l 。有
此处σ为对角阵Σ的一个和CMIF曲线对应的元素,即 CMIF曲线的值。
对于提纯后的FRF,有
此处ω0为CMIF最大值点对应的频率。
对于提纯后的FRF,只有一阶模态,由公式 (6),可得
此处最前的p点振型和参考点位置相同。
由式(40),可得到下面等式
或改写为
此处
式(44) 和(45)可写成矩阵的形式
此处元素iHR和iHI, i 表示一组提纯后FRF的第i个FRF。
对于q个提纯后的FRF, N为半功率带宽内谱线的条数,用于构建等式(48)。通过最小二乘法求解式(48)。 再由(46)和(47),得到模态频率和阻尼。
当由式 (48),求出γ。再由式 (42),求出β。由式(38),得到模态振型。
三 工程实例
实例1:这是在北航实验室完成的一个带方孔板的模态试验,只测和板垂直的方向,边界条件为自由。将4个传感器布在四个角,板在面内方向用钢丝绳悬挂,对垂直方向不造成约束,如图4所示。用锤子敲击所有的网格点,网格划分如图5所示。得到四组FRF,多变量指示函数MvMIF曲线如图4所示。
图4 带方孔板的模态试验
图5 模态试验测点的网格划分
将提纯算法得到的模态分析结果和特征系统实现算法ERA得到的分析结果进行比较,如表1所示:得到的模态频率和阻尼的结果非常一致。图6为对两种算法振型进行比较的Cross MAC结果,所得振型也非常一致。
表1 两种算法的分析结果比较范例
阶数 | 提纯算法 | ERA | ||
频率 (Hz) | 阻尼 (%) | 频率 (Hz) | 阻尼 (%) | |
1 | 33.586 | 1.603 | 33.591 | 1.605 |
2 | 70.987 | 1.205 | 70.991 | 1.266 |
3 | 87.439 | 0.997 | 87.483 | 1.107 |
4 | 96.397 | 1.465 | 96.418 | 1.488 |
5 | 118.015 | 1.270 | 118.086 | 1.296 |
6 | 184.437 | 1.476 | 184.596 | 1.538 |
7 | 186.397 | 1.326 | 186.511 | 1.384 |
8 | 199.971 | 1.365 | 199.947 | 1.442 |
9 | 222.719 | 0.910 | 222.841 | 1.173 |
10 | 258.237 | 1.094 | 258.264 | 1.174 |
11 | 275.833 | 1.372 | 275.854 | 1.441 |
12 | 301.631 | 1.078 | 301.560 | 1.589 |
13 | 341.377 | 1.272 | 341.384 | 1.350 |
14 | 353.209 | 1.394 | 353.046 | 1.448 |
15 | 417.771 | 1.164 | 417.988 | 1.544 |
16 | 422.187 | 1.025 | 422.001 | 1.334 |
17 | 472.246 | 0.669 | 472.668 | 1.161 |
18 | 485.886 | 0.858 | 484.554 | 1.567 |
图6 提纯算法对ERA的Cross MAC
在以上的分析结果中,第6阶和第7阶模态非常接近。
以上算例表明,提纯算法所得分析结果可靠,能识别密集模态。
实例2:这是一个超大阻尼隔振台的模态试验,台子由工信部十院进行设计。台子长40米,宽7米,高0.7米,质量为1000公斤。前3阶刚体模态阻尼很大,阻尼比在20%到40%。这三阶大阻尼模态耦合在一起,造成模态参数用普通的参数识别算法很难识别,尤其是很难得到协调的模态振型。
考虑到结构的对称性,MIMO试验时选择4个角的垂直方向进行激励,得到了4组FRF。振动台面均匀分成了10*4的网格,共有55个测点。台面下和台面上的振动认为是相同的,只测量垂直方向。传感器采用国家地震局力学所设计生产的941B,测量速度。频率分析区间为0到8Hz。
图7 模态试验测点的网格划分
表2为分析结果。
表2 分析结果
阶数 | 频率 (Hz) | 阻尼比 (%) | 振型说明 |
1 | 1.753 | 40.939 | 沉浮 |
2 | 1.950 | 37.670 | 点头 |
3 | 2.402 | 28.116 | 侧翻 |
4 | 6.228 | 2.799 | 一弯 |
图8为4阶模态的振型。
图8 4阶模态振型
前3阶模态严重耦合在一起,集总显示的FRF如图9所示。
图9 集总FRF显示
图10是ERA参数识别算法得到的稳定图,图中曲线为CMIF复模态指示函数曲线。
图10 ERA算法得到的稳定图
图11为PolyLSCF[3]算法得到的稳定图。
图11 PolyLSCF算法得到的稳定图
图12为PolyIIR[4]算法得到的稳定图。
图12 PolyIIR算法得到的稳定图
由于耦合严重,三种算法的稳定图都不够清晰。ERA算法稍好一点,但得到的刚体模态仍有个别点振型不够协调。
为得到提纯后的FRF,各个激励点的系数如表3:
表3 构造提纯FRF的4个激励点的系数
阶数 | 激励点1 | 激励点2 | 激励点3 | 激励点4 | 振型说明 |
1 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 沉浮 |
2 | 0.5 | 0.5 | -0.5 | -0.5 | 点头 |
3 | 0.5 | -0.5 | 0.5 | -0.5 | 侧翻 |
4 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 0.5 | 一弯 |
四组FRF乘以表3中的系数,每次得到一组新的提纯后的FRF。图13为第1阶和第4阶提纯FRF集总显示,参数识别时可选不同的频率区间分别识别,得到的模态振型非常协调,如图8所示。图14为第2阶提纯FRF集总显示,图15为第3阶提纯FRF集总显示。通过式(46)求得的模态振型非常协调。
图13 第1阶和第4阶提纯FRF集总显示
图14 第2阶提纯FRF集总显示
图15 第3阶提纯FRF集总显示
四 结论
1. 在SIMO和MISO试验,提纯算法能识别小阻尼以及频率相差大于2Δf的模态参数。
2. 对MIMO试验, MvMIF理论可用来得到一组提纯的FRF。识别参数的精度依赖于MvMIF的最小值,由激励点个数和位置决定。当激励点数量足够且位置合适,即使重根的模态也容易识别。复模态指示函数CMIF的提纯算法,既可用于EMA试验也可用于OMA试验。
3. 提纯FRF得到后,参数识别过程因为只需考虑一阶模态,非常简单,可看作实时完成。MIMO试验的FRF提纯因可以利用MvMIF或CMIF的数据,也可看作实时完成。提纯算法是目前所有模态识别算法中,唯一对密集模态参数识别能达到实时级的算法。
4. 从工程实例可以看出,对于耦合严重或者超大阻尼的模态试验,提纯后的FRF已完成了模态解耦,能直观显示模态的频率和阻尼。
5. 新算法进一步发展了多变量指示MvMIF和复变量指示函数CMIF的理论。以前这两种指示函数只能用来指示模态的位置,提纯算法利用它们可进一步直接识别出所有的模态参数,即模态频率、模态阻尼和模态振型。MvMIF指示函数值的大小反映了激振器的数量是否足够以及位置是否适当。
参考文献:
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